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Limite réelle d'une fonction réelle
Soit f, une fonction de R dans R, a, b∈R.
On dit que f(x) tend vers b lorsque x tend vers a, ou encore que b est la limite de f(x) lorsque x tend vers a, et l'on écrit
si les conditions suivantes sont satisfaites :
1) a ∈ adh dom f
2) (∀ ε > 0) (∃ δ > 0) (∀ x ∈ dom f: |x-a| ≤ δ) : |f(x) - b| ≤ ε
Unicité de la limite
Il existe au plus un b ∈ R vérifiant les conditions de la limite
Supposons qu'il existe b et b' ∈ R vérifiant les conditions de la limite
Dès lors, ∀ ε > 0,
et
Si on pose δ" = min{δ , δ '} alors pour tout x ∈ dom f tel que |x - a| ≤ δ", on aura
Définition équivalente
Soit f, une fonction de R dans R, a, b∈R.
On dit que f(x) tend vers b lorsque x tend vers a, ou encore que b est la limite de f(x) lorsque x tend vers a, et l'on écrit
si les conditions suivantes sont satisfaites :
1) a ∈ adh dom f
2) (∀ ε > 0) (∃ δ > 0) (∀ x ∈ dom f: |x-a| < δ) : |f(x) - b| < ε
Condition de Cauchy
Soit f, une fonction de R dans R, a∈adh dom f.
Si  existe, alors la condition suivante est satisfaite
(∀ ε > 0) (∃ δ > 0) (∀ x ∈ dom f: |x-a| ≤ δ)(∀ x' ∈ dom f: |x'-a| ≤ δ) : |f(x) - f(x')| ≤ ε
Soit  ∈ R
Dès lors,
 et 
et on a
Par contraposition, cet énoncé nous donne une condition de non existence de la limite
Soit f, une fonction de R dans R, a∈adh dom f.
Si
(∃ ε > 0) (∀ δ > 0) (∃ x ∈ dom f: |x-a| ≤ δ)(∃ x' ∈ dom f: |x'-a| ≤ δ) : |f(x) - f(x')| > ε
alors  n'existe pas.
Exemple 1
Exemple 2
Limite sur dom f\{a}
La limite ayant peu d'intérêt lorsque a est un point isolé du domaine, elle est parfois définie comme suit:
Soit f, une fonction de R dans R, a, b∈R.
On dit que f(x) tend vers b lorsque x tend vers a, ou encore que b est la limite de f(x) lorsque x tend vers a, et l'on écrit
si les conditions suivantes sont satisfaites :
1) a ∈ adh dom f \{a}
2) (∀ ε > 0) (∃ δ > 0) (∀ x ∈ dom f\{a}: |x-a| ≤ δ) : |f(x) - b| ≤ ε
Avec cette définition, la limite de l'exemple 2 existe.
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